미분이란 어떤 함수가 특정 지점에서 얼마나 빠르게 변하고 있는지를 나타내는 도구다. 다시 말해, 함수의 순간 변화율을 계산하는 것이다. 그러나 이 개념을 정확히 이해하기 위해서는 먼저 더 기본적인 개념인 변화율에 대해 짚고 넘어가야 한다.
평균변화율과 순간변화율
변화율이란 어떤 양이 변할 때, 다른 한 양이 얼마나 변하는지를 나타내는 비율이다. 가장 직관적인 예가 바로 평균 변화율이다. 평균 변화율은 말 그대로
두 지점 사이에서 변화한 정도를 의미한다. 예를 들어, 함수 f(x)가 있을 때, x의 값이 a에서 b로 바뀌는 동안 함수값, 즉 y
= f(x)가 얼마나 변했는지를 알고 싶다면, 위 그림과 같은 평균변화율 수식을 사용할
수 있다. 여기서 Δy는
y값의 변화량, Δx는 x값의 변화량을 의미한다.
자동차의 예를 들어보자. x축은 시간, y축은
자동차가 이동한 거리라고 가정하자. 특정 시간 a에서 b까지 이동한 거리가 f(b) - f(a)라면, 이 기간 동안의 평균속도는 바로 평균 변화율이 된다. 이는 우리가
일상에서 흔히 말하는 '시속 몇 km로 달렸다'는 의미와 같다.
하지만 현실 세계에서는 어느 한 순간의 변화율이 더 중요한 경우가 많다. 예를 들어, 과속 단속 카메라는 차가 특정 구간을 얼마나 빠르게 지나갔는지 측정하는 것이 아니라, 정확히 그 지점을 지날 때의 속도가 규정 속도를 넘었는지를 판단한다. 바로
이럴 때 필요한 것이 순간 변화율, 즉 미분이다.
순간 변화율은 평균 변화율을 구하는 과정에서 출발하지만, 그 구간을 점점 좁혀서 한
점에 가까워지게 만들면서 극한을 취하는 방식으로 계산된다. 수학적으로는 위 그림의 순간변화율 수식을
사용할 수 있다.
이 표현은 우리가 평균 변화율을 구하되, 그 구간의 폭 Δx를 0에 가깝게 만들면서 계산한다는 뜻이다. 이렇게 해서 얻는 값이 바로 x에서의 미분계수, 즉 순간 변화율이다.
시각적으로 보면, 평균 변화율은 함수 그래프 위의 두 점을 잇는 직선의 기울기를 의미하지만, 미분은 한 점에서의 접선의 기울기를 의미한다. 접선은 곡선을 한
점에서 딱 접하며 지나가는 선으로, 그 기울기는 그 지점에서 함수가 얼마나 가파르게 변하고 있는지를
보여준다.
이러한 개념은 함수 근사나 최적화, 특히 강화학습에서 신경망의 학습에 반드시 필요한
경사하강법(Gradient Descent)의 핵심이 되며, 결국
미분은 단순한 수학 개념을 넘어 인공지능 전체를 지탱하는 기초 중 하나로 작용하게 된다.
초보자에게는 순간 변화율이 다소 추상적일 수 있지만, 자동차 속도, 계기판, 과속 단속과 같은 일상 속 사례를 떠올리며 생각하면 미분의
본질이 훨씬 쉽게 다가올 것이다. 이 장에서는 앞으로도 함수 근사와 강화학습에서 미분이 어떻게 활용되는지를
실감할 수 있도록, 다양한 사례와 함께 차근차근 설명해 나갈 예정이다.
미분공식
앞에서 살펴본 것처럼 미분은 특정 지점에서의 변화율을 계산하는 데 사용된다. 그런데
때로는 어떤 한 지점이 아니라, 모든 지점에서의 변화율을 한눈에 알고 싶을 때가 있다. 이런 경우에는 특정 숫자에 대해 미분을 계산하는 것이 아니라, 아예
함수 자체를 미분해서 또 다른 함수의 형태로 표현하는 것이 필요하다. 이렇게
하면 우리가 원할 때마다 원하는 지점에 대입하여 언제든지 순간 변화율을 계산할 수 있다.
예를 들어, f(x)=x2 이라는 함수가 있다면, 이 함수를 미분한 결과는 f′(x)=2x가 된다. 이 말은 x가 어떤 값이든 간에,
그 지점에서의 순간 변화율은 2x라는 새로운 함수로 바로 구할 수 있다는 뜻이다.
이러한 방식은 함수 전체에 대한 변화 경향을 파악하는 데 매우 유용하다. 특히
강화학습이나 신경망 학습과 같이 수많은 상태나 입력에 대해 연속적으로 변화율을 계산해야 할 때는, 매번
따로따로 미분하는 대신 미분된 함수 하나만 알고 있으면 훨씬 효율적이다.
물론 다양한 함수에 따라 미분 결과도 다양하다. 그래서 수학에서는
이를 정리한 여러 미분 공식들이 존재한다. 여기서는 너무 복잡하게 파고들지 않고, 강화학습에 자주 등장하는 함수들 위주로 정리해 두었으며, 필요할
때 참고용으로 보면 충분하다. 이 책은 수학 시험을 준비하는 것이 아니라 실제 문제를 해결하기 위한
이해를 목표로 하고 있으므로, 공식은 꼭 외우기보다 어떤 상황에서 어떤 형태의 함수가 등장하고, 그것을 어떻게 다루는지가 중요하다는 점을 기억해두면 좋다.
이제 우리는 단순히 값을 계산하는 단계를 넘어서, 함수의 성질 자체를
이해하고 조작하는 수준으로 접어들었다. 다음 장에서는 이렇게 얻은 미분값이 강화학습의 핵심 알고리즘에서
어떻게 활용되는지를 살펴보며, 이론이 실전에서 어떤 역할을 하는지를 구체적으로 알아볼 것이다.
